Q5解释

这道题目是抽象代数 (Abstract Algebra) 或集合论 (Set Theory) 中的一个基础但非常重要的证明题。它要求我们完成两项独立的证明任务：

1. 证明“单射的复合是单射” (The composition of injections is an injection)。
2. 证明“满射的复合是满射” (The composition of surjections is a surjection)。

“直接根据定义”是我们解题的唯一准绳，意味着我们不能使用任何超出“单射函数”、“满射函数”和“复合函数”这三个核心定义之外的定理或推论。我们需要将问题中的每一个名词都回归到它最原始、最精确的数学语言上去。

整个解题的推理链起点，就是这些定义。我们需要像搭建乐高积木一样，从最基本的定义出发，通过严谨的逻辑推导，最终构建出我们要证明的结论。

在开始证明之前，我们必须极端清晰地定义题目中提到的每一个核心概念。这是我们所有推理的基石。

2.1 函数 (Function)

一个函数 $f$ 是一个规则，它将一个集合 $A$（称为定义域 (Domain)）中的每一个元素 $x$，与另一个集合 $B$（称为上域 (Codomain)）中一个唯一确定的元素 $y$ 对应起来。我们记作 $f: A \to B$，并用 $y = f(x)$ 来表示这种对应关系。

• 关键点1：“每一个元素”——定义域 $A$ 中的所有元素都必须有对应的输出。
• 关键点2：“唯一确定”——定义域 $A$ 中一个元素不能对应上域 $B$ 中多个元素。

2.2 单射函数 (Injective Function)

一个函数 $f: A \to B$ 是单射的（或称为“一对一函数”，one-to-one function），如果对于定义域 $A$ 中任意两个不同的元素 $x_1$ 和 $x_2$，它们在上域 $B$ 中的像 (image) $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 也一定是不同的。

用数学语言来说，有两个等价的定义形式：

• 定义形式一（正向描述）：对于任意 $x_1, x_2 \in A$，如果 $x_1 \neq x_2$，那么 $f(x_1) \neq f(x_2)$。
• 定义形式二（逆否命题，常用于证明）：对于任意 $x_1, x_2 \in A$，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$。

在证明中，我们通常使用第二种形式，因为它提供了一个明确的等式作为起点。

2.3 满射函数 (Surjective Function)

一个函数 $f: A \to B$ 是满射的（或称为“映上函数”，onto function），如果上域 $B$ 中的每一个元素 $y$，都“至少”是定义域 $A$ 中某一个元素 $x$ 的像。

用数学语言来说：

• 对于任意 $y \in B$，都存在至少一个 $x \in A$，使得 $f(x) = y$。

这意味着函数的值域 (Range) $f(A)$ 等于其上域 (Codomain) $B$。

2.4 复合函数 (Composite Function)

假设我们有两个函数，$f: A \to B$ 和 $g: B \to C$。注意，第一个函数 $f$ 的上域 $B$ 必须是第二个函数 $g$ 的定义域。这两个函数的复合函数记作 $g \circ f$，它是一个从 $A$ 到 $C$ 的新函数，即 $(g \circ f): A \to C$。

其定义为：对于任意 $x \in A$，

这个表达式的意思是，先将 $x$ 通过函数 $f$ 映射到 $B$ 中得到 $f(x)$，然后将 $f(x)$ 这个结果作为输入，再通过函数 $g$ 映射到 $C$ 中。顺序是“先 $f$ 后 $g$”。

3.1 设定与目标

我们的目标是证明：如果函数 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 都是单射的，那么它们的复合函数 $(g \circ f): A \to C$ 也一定是单射的。

3.2 组织证明

根据单射函数的定义（形式二），我们要证明 $(g \circ f)$ 是单射的，就需要证明以下命题：

对于任意 $x_1, x_2 \in A$，如果 $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$。

证明步骤 (The Proof):

1. 假设前提：让我们从等式的左边开始。假设 $x_1$ 和 $x_2$ 是定义域 $A$ 中的任意两个元素，并且它们满足条件：

1. 展开复合函数定义：根据复合函数的定义 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$，我们可以将上面的等式改写为：

现在，我们把 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 看作是两个输入到函数 $g$ 中的元素。这两个元素都属于集合 $B$。

1. 应用 $g$ 的单射性：我们已知函数 $g: B \to C$ 是单射的。根据单射的定义，如果两个输入的输出值相同（即 $g(\text{input}_1) = g(\text{input}_2)$），那么这两个输入本身也必须相同（即 $\text{input}_1 = \text{input}_2$）。

在我们的情况中，$\text{input}_1$ 就是 $f(x_1)$，$\text{input}_2$ 就是 $f(x_2)$。因为我们有 $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$，所以我们可以立即推断出：

1. 应用 $f$ 的单射性：现在我们得到了一个新的等式 $f(x_1) = f(x_2)$。我们还已知函数 $f: A \to B$ 也是单射的。再次应用单射的定义，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么必然有：

1. 得出结论：我们从假设 $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ 出发，通过一系列严格的逻辑推导，最终得到了结论 $x_1 = x_2$。这完全符合单射函数的定义。因此，我们成功证明了复合函数 $g \circ f$ 是单射的。

(证明完毕，Q.E.D.)

4.1 设定与目标

我们的目标是证明：如果函数 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 都是满射的，那么它们的复合函数 $(g \circ f): A \to C$ 也一定是满射的。

4.2 组织证明

根据满射函数的定义，我们要证明 $(g \circ f)$ 是满射的，就需要证明以下命题：

对于任意 $c \in C$，都存在一个 $a \in A$，使得 $(g \circ f)(a) = c$。

证明步骤 (The Proof):

1. 选取任意目标：让我们从最终的上域 $C$ 中任意选取一个元素，记为 $c$。

1. 应用 $g$ 的满射性：我们已知函数 $g: B \to C$ 是满射的。根据满射的定义，对于我们刚刚选取的这个元素 $c \in C$，一定存在一个“中间人”——我们称之为 $b$ ——在集合 $B$ 中，使得 $g$ 作用于 $b$ 的结果恰好是 $c$。

1. 应用 $f$ 的满射性：现在我们找到了一个在 $B$ 中的元素 $b$。接下来我们看函数 $f: A \to B$。我们已知 $f$ 也是满射的。根据满射的定义，对于我们刚刚找到的这个元素 $b \in B$，一定存在一个“源头”——我们称之为 $a$ ——在集合 $A$ 中，使得 $f$ 作用于 $a$ 的结果恰好是 $b$。

1. 连接链条：现在我们手里有两样东西：
   • 一个元素 $a \in A$。
   • 两个等式：$f(a) = b$ 和 $g(b) = c$。
2. 得出结论：我们从一个任意的 $c \in C$ 出发，成功地在 $A$ 中找到了一个元素 $a$，使得 $(g \circ f)(a) = c$。由于我们开始选取的 $c$ 是任意的，这意味着对于 $C$ 中的每一个元素，我们都能在 $A$ 中找到一个对应的源头。这完全符合满射函数的定义。因此，我们成功证明了复合函数 $g \circ f$ 是满射的。

(证明完毕，Q.E.D.)